16. marec
Pripravila sem graf, ki za vsak dan prikazuje število potrjenih okužb. Na x osi je datum — podatki so napisani od 5. marca dalje. Po navadi sicer na x os ne pišemo datumov, ampak vrstilni dan od začetka spremljanja okužbe, a meni je trenutno lažje gledati glede na datum.
Na y osi je število potrjenih okužb, ki jih dobim na spletni strani https://www.gov.si/teme/koronavirus/ . Posodabljajo se vsak dan ob 14 h.
Zgornja slika prikazuje podatke do 16.3. Posodobljen graf pa lahko spremljate na spodnji povezavi.
https://www.desmos.com/calculator/f87xtc8nhf
Kot vidite imajo točke res obliko eksponentne funkcije. To ni napoved za naprej, niti analiza trenutnega stanja! Je le prikaz trenutnih podatkov o obolelih, s čimer želim prikazati, kaj pomeni, ko rečemo, da se bolezen širi eksponentno (kar je po domače sopomenka za zelo hitro).
Vsi ukrepi, ki so bili dani s strani pristojnih organov, so popolnoma na mestu in upam, da se jih uspete držite v največji možni meri.
Eksponentna rast lahko zbuja občutek strahu. Sploh ob dejstvu, da še ni cepiva. A ne pozabimo, da nismo brez moči! Ukrepi, kot so redna higiena rok in zmanjšanje števila socialnih stikov — kljub svoji preprostosti — delujejo. So osnova, brez katere nas tudi cepivo ne reši. Zato, prosim, ne panike v glavo, ampak milo pod roko.
Spodaj še en kratek filmček o eksponentni funkciji in možnih posledicah, če ukrepi ne bi bili izdani. Filmček je bil narejen še pred razglasitvijo epidemije. Avtor je prof. dr. Andrej Bauer s Fakultete za matematiko in fiziko na Univerzi v Ljubljani.
Če pa se želiš še malo pozabavati na temo funkcij, ti predlagam, da prebereš tole objavo:
Pri vedeževalki, ki je študirala matematiko
25. marec
Dodajam sliko trenutnega stanja. Spodaj pa razložim, zakaj je dobro te podatke logaritmirati.
Sedaj bomo zgornje podatke o številu okuženih v Sloveniji pogledali skozi logaritemsko lečo. To ima dva namena:
- podatke, ki eksponentno naraščajo prikažemo bolj zgoščeno, saj je med dvema sosednjima podatkoma na x os samo 1 dan razlike, na y osi pa je razlika ogromna;
- lahko razberemo, na koliko dni se število okužb podvoji.
Poglejmo najprej, kaj se zgodi, ko naše podatke logaritmiramo. Podatki, ki opisujejo epidemijo, na grafu zavzamejo obliko ekponentne funkcije, ki ima predpis
$latex y=a^x$.
Logaritmirajmo zgornjo enačbo, in sicer z osnovo 10. Lahko naredimo s katerokoli osnovo, a ta je najbolj uporabna. Dobimo
$latex \log y = x \cdot \log a$
Lahko prepoznate, da smo dobili enačbo premice, kjer je $latex \log a$ njen smerni koeficient. Kot vidite na spodnji sliki imajo podatki res obliko premice, bolj natančno zlomljene premice, saj se trend naraščanja spreminja.
Modre premice označujejo trend, kjer se okužbe podvojijo na 2 dni oziroma 3 oziroma 7 dni. Kot lahko vidite, se je od 5.3. do 15. 3. število okužb podvajalo na 2 dni, vmes je bilo par dni celo nekoliko hujše. Nato pa je od 15.3. dalje trend počasnejši, in sicer je vzporeden s premico, ki označuje podvajanje na 7 dni.
Modre premice dobimo, če za a vzamemo $latex a=\sqrt{2}$ (za podvajanje na 2 dni), $latex a=\sqrt[3]{2}$ (za podvajanje na 3 dni) in $latex a=\sqrt[7]{2}$ (za podvajanje na 7 dni).
Če na zgornji graf dodamo še podatke iz Španije, vidimo, da se njim število okužb trenutno podvaja na na 3 do 4 dni.
16. april
Točno en mesec po prvi objavi glede koronavirusa k tej zgodbi dodajam še zadnji košček. Konec marca, ko smo imeli že nekaj več podatkov o poteku te bolezni, so se matematiki lotili modeliranja.
Kaj sploh so matematični modeli? Kadarkoli v naravi zaznamo neko gibanje, se matematiki (in tudi fiziki v tem primeru) vprašajo: “Ali znam to gibanje ujeti v neko enačbo?” V primeru korona virusa opazujejo, kaj se dogaja z okuženimi, ozdravelimi, izpostavljenimi, dovzetnimi, umrlimi itd. Tu ne opazujemo gibanja teh skupin v fizičnem smislu, ampak kako se spreminja številčnost posamezne skupine. Temu rečemo, da opazujemo dinamiko bolezni.
Matematiki so razvili vrsto epidemioloških modelov, ki skušajo ujeti dinamiko bolezni. Pri izbiri modela za neko bolezen moramo biti previdni, saj ni vsak model primeren za vsako bolezen. Na primer, bolezen, kjer vsak ozdravljen ponovno postane dovzeten potrebuje drugačen model kot bolezen, kjer vsak ozdravljen postane imun na bolezen. V drugem primeru se bo število dovzetnih s časom zmanjševalo, medtem ko v prvem primeru ne.
Med osnovnimi modeli so modeli kot so SIS, SIR, SEIR itd. Pri tem so oznake S=susceptible (dovzeten), I=infected (okužen), R=removed (imuni na bolezen in umrli skupaj), E=exposed (izpostavljen).
Za bolezen, kjer je vsak ozdravljen ponovno dovzeten, je primeren model SIS, saj je dinamika bolezni sledeča: najprej dovzeten (susceptible), nato okužen (infected) in nato ponovno dovzeten (susceptible). Zato ime modela SIS.
Za primer koronavirusa je primeren model SEIR, kjer imamo dodaten razred oseb, in sicer E=exposed (okuženi z virusom, ki je še v inkubacijski dobi). Potek bolezni je tu sledeč: dovzetenost (S), okuženost, a v inkubacijski dobi (E), okuženost z bolezenskimi znaki (I), imunost ali smrt. Od tod ime SEIR.
In kako dobimo enačbe, s katerimi opišemo to dinamiko? Ker gre za gibanje, torej opazujemo spremembo, bodo v enačbah nastopali odvodi posameznih količin. Pravzaprav za vsako količino, ki jo opazujemo (torej, za S, E, I in R), zapišemo čimbolj realistično oceno tega, kako se spreminjajo. Če podam enostaven primer, kako zapišemo spremembo skupine R:
$latex R’ = \gamma I + \mu R$
Sprememba skupine R (imuni in umrli) je odvisno od tega, kolikšen delež okuženih ozdravi (faktor $latex \gamma$), in od števila ozdravljenih, ki naravno umrejo (faktor $latex \mu$).
Natančneje ne bi razlagala teh enačb. Najdete jih lahko z enostavnim iskanjem po internetu. Dodala bom le še to, da se enačbam, kjer nastopajo odvodi, reče diferencialne enačbe. Z njimi lahko opišemo tudi druga gibanja kot je npr. tok vode. Pri tem pa se je potrebno zavedati, da so to le modeli in ne točne napovedi. Točnost rezultatov je odvisna od zasnove modela.
Kogar zanima, kako izgleda napoved modela SEIR za Slovenijo, se lahko obrne na model, ki ga je zasnovala ekipa Covid-19 sledilnika v sodelovanju s prof. Janezom Žibertom z Zdravstvene fakultete, Univerze v Ljubljani. Model lahko najdete tu. Opozarjam le, da je model precej kompleksnejši od osnovnega primera SEIR, ki sem ga predstavila tu. ☺️
Zanimivo branje je tudi knjiga V času epidemije znanega italijanskega pisatelja Paola Giordana, ki je po izobrazbi doktor fizike. Če ste člani kakšne knjižnice, je velika možnost, da si jo lahko izposodite preko portala Biblos. Knjiga je zelo kratka in preko njej boste na hitro ponovili to, kar sem vam predstavila v tej objavi.