Ste že kdaj slišali, da vas od britanske kraljice v povprečju loči le šest ljudi? Torej, prijatelj od prijatelja od prijatelja od prijatelja od prijatelja od vašega prijatelja pozna kraljico Elizabeto. Temu fenomenu rečemo mali svet oziroma šest stopenj separacije.
Številka 6 je prišla iz prvi empiričnega poskusa, ki ga je naredil psiholog Stanley Milgram v šestdesetih letih prejšnjega stoletja. Eksperiment je potekal tako, da je Milgram naključno izbrani osebi naročil, naj posreduje pismo drugi naključno izbrani osebi. Od te osebe je poznal le ime, naslov, zaposlitev in nekaj osebnih podatkov. Pisma ni smel poslati z direktno pošto, ampak le preko svojih znancev. Izkazalo se je, da je pismo prispelo do izbrane osebe v povprečno šestih korakih.
Način preverjenja ideje o malem svetu s pošiljanjem pisem je zamudno in potrebovali bi preveč pisem, da bi lahko naredili zaključek o šestih vmesnih povezavah med dvema poljubnima človekoma na globalni ravni. Milgram je eksperiment izvedel v Ameriki in zatorej njej zaključek velja le za Ameriko. Kaj pa globalno? Ali lahko rečemo, da med dvema poljubnima človekoma na svetu obstaja veriga šestih ljudi, ki ju povezuje? To vprašanje moramo vedno zastaviti znotraj nekega omrežja, kjer imamo ljudi in povezavo, ki te ljudi povezuje. Na primer:
- vsi Američani; povežemo tiste, ki se poznajo (v tem omrežju je delal Milgram),
- vsi ljudje na svetu; povežemo tiste, ki se poznajo,
- vsi filmski igralci; povežemo tiste, ki so igrali v istem filmu,
- vsi Facebook uporabniki; povežemo tiste, ki so prijatelji,
- vsi matematiki; povežemo tiste, ki so skupaj napisali znanstveni članek,
- …
Stopnja separacije se nato razlikuje pri različnih omrežjih.
Matematiki se omrežij lotimo na tak način, da objekte narišemo kot točke in nato te točke povežemo, če ‘točki’ povezuje izbrana povezava (npr. če se dve ‘točki’ poznata ali sta igrali v istem filmu …). Temu, kar nastane, rečemo graf in ga lahko vidite na spodnji sliki.
Omrežje, narisano z grafom
Za vsa zgoraj omenjena omrežja se je v praksi pokazalo, da je pot med dvema poljubna človeka iz omrežja v povprečju zelo kratka. Eksperimenti, kot je Milgramov, so pokazali, da pri omrežju iz druge točke med dvema poljubnima človekoma (recimo med mano in britansko kraljico) stoji le šest znancev (oziroma šest točk na grafu).
“Pot med mano in britansko kraljico”
Za študiranje omrežja igralcev (točka 3) so uporabili bazo igralcev in filmov na www.imdb.com. Izkazalo se je, da med dvema poljubnima igralcema v omrežju stoji v povprečju še 2,65 igralcev. Torej so igralci kar na gosto prepleteni med sabo. Računanja stopnje separacije za omrežje Facebook uporabnikov sta se lotila Univerza v Milanu in Facebook. V članku, ki je bil objavljen v začetku leta 2012, so predstavili svoj rezultat, in sicer stopnjo seperacije so s 6 znižali na 3.74. Torej, če bi imela britanska kraljica Facebook profil, bi bila ona prijateljica od prijateljice od prijateljice od moje prijateljice. 🙂
In kaj imajo matematiki pri tem? Taka omrežja, kot smo jih zgoraj opisali, se imenujejo mali svet. Matematiki ne bi bili matematiki, če ne bi želeli najti načina, kako povezati neko število točk tako, da bomo dobili omrežje, ki zgleda kot mali svet. Konstrukcija, ki sta jo našla Watts in Strogatz, se da enostavno, čeprav nekoliko pomanjkljivo, razložiti. Pri tem pa bomo dobili tudi uvid, zakaj te grafi dobro simulirajo omrežja, ki nas zanimajo.
Najprej vzamemo graf, kjer vsako točko povežemo z nekaj svojimi sosedi. To je regularen graf. Za predstavo si poglejte zgornjo sliko. Da dobimo graf malega sveta, vsako povezavo z neko majhno verjetnostjo prevežemo na neko čisto drugo točko. Tako večina povezav ostane take kot so bile pri regularnem grafu, neko majhno število povezav pa se preveže na čisto drugi konec. Graf, ki ga dobimo, ima skupine točk, ki so med sabo dobro povezane in še nekaj osamljenih povezav, ki te skupine povezujejo. To dobro simulira naše družbeno omrežje. Vsak ima neko svojo skupino prijateljev, ki je med seboj dobro povezana, potem pa imamo še znance, ki nas povežejo z neko popolnoma drugo skupino ljudi. Te znance predstavljajo povezave, ki jih po regularnem grafu prevežemo. Izkaže se, da ne potrebujemo veliko povezav prevezati, da dobimo nizko stopnjo separacije. To je tisto, zaradi česar je svet res majhen — takih znancev, ki nas povežejo z čisto drugimi ljudi, imamo v primerjavi s številom prijateljev malo.
Tem grafom, ki smo jih imenovali mali svet, strokovno rečemo Watts-Strogatz grafi. Ti grafi so nekje vmes med regularnimi grafi in naključnimi grafi (tu točke povezujemo naključno) in so prvi taki, ki so uspeli osvetliti fenomen šestih stopenj separacije.